Resolver 7a^2+29a+4=0

$$7 a ^ { 2 } + 29 a + 4 = 0$$

Resolva para a

$$a=-4$$

$$a=-\frac{1}{7}\approx -0,142857143$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 7a^{2}+aa+ba+4. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=29 ab=7\times 4=28$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 28.

$$1,28 2,14 4,7$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

A solução é o par que devolve a soma 29.

$$a=1 b=28$$

Reescreva 7a^{2}+29a+4 como \left(7a^{2}+a\right)+\left(28a+4\right).

$$\left(7a^{2}+a\right)+\left(28a+4\right)$$

Fator out a no primeiro e 4 no segundo grupo.

$$a\left(7a+1\right)+4\left(7a+1\right)$$

Decomponha o termo comum 7a+1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(7a+1\right)\left(a+4\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 7a+1=0 e a+4=0.

$$a=-\frac{1}{7} a=-4$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$7a^{2}+29a+4=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 7 por a, 29 por b e 4 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-29±\sqrt{29^{2}-4\times 7\times 4}}{2\times 7}$$

Calcule o quadrado de 29.

$$a=\frac{-29±\sqrt{841-4\times 7\times 4}}{2\times 7}$$

Multiplique -4 vezes 7.

$$a=\frac{-29±\sqrt{841-28\times 4}}{2\times 7}$$

Multiplique -28 vezes 4.

$$a=\frac{-29±\sqrt{841-112}}{2\times 7}$$

Some 841 com -112.

$$a=\frac{-29±\sqrt{729}}{2\times 7}$$

Calcule a raiz quadrada de 729.

$$a=\frac{-29±27}{2\times 7}$$

Multiplique 2 vezes 7.

$$a=\frac{-29±27}{14}$$

Agora, resolva a equação a=\frac{-29±27}{14} quando ± for uma adição. Some -29 com 27.

$$a=-\frac{2}{14}$$

Reduza a fração \frac{-2}{14} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$a=-\frac{1}{7}$$

Agora, resolva a equação a=\frac{-29±27}{14} quando ± for uma subtração. Subtraia 27 de -29.

$$a=-\frac{56}{14}$$

Divida -56 por 14.

$$a=-4$$

A equação está resolvida.

$$a=-\frac{1}{7} a=-4$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$7a^{2}+29a+4=0$$

Subtraia 4 de ambos os lados da equação.

$$7a^{2}+29a+4-4=-4$$

Subtrair 4 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$7a^{2}+29a=-4$$

Divida ambos os lados por 7.

$$\frac{7a^{2}+29a}{7}=-\frac{4}{7}$$

Dividir por 7 anula a multiplicação por 7.

$$a^{2}+\frac{29}{7}a=-\frac{4}{7}$$

Divida \frac{29}{7}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{29}{14}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{29}{14} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$a^{2}+\frac{29}{7}a+\left(\frac{29}{14}\right)^{2}=-\frac{4}{7}+\left(\frac{29}{14}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{29}{14}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$a^{2}+\frac{29}{7}a+\frac{841}{196}=-\frac{4}{7}+\frac{841}{196}$$

Some -\frac{4}{7} com \frac{841}{196} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$a^{2}+\frac{29}{7}a+\frac{841}{196}=\frac{729}{196}$$

Fatorize a^{2}+\frac{29}{7}a+\frac{841}{196}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{29}{14}\right)^{2}=\frac{729}{196}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(a+\frac{29}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{196}}$$

Simplifique.

$$a+\frac{29}{14}=\frac{27}{14} a+\frac{29}{14}=-\frac{27}{14}$$

Subtraia \frac{29}{14} de ambos os lados da equação.

$$a=-\frac{1}{7} a=-4$$