Resolver 6(1/x+1/x+5)=1

$$6( \frac{ 1 }{ x } + \frac{ 1 }{ x+5 } )=1$$

Resolva para x

$$x=-3$$

$$x=10$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Divida ambos os lados por 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -5,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 6x\left(x+5\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+5,6.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Combine 6x e 6x para obter 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Subtraia 5x de ambos os lados.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Combine 12x e -5x para obter 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-x^{2}+7x+30=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx+30. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=7 ab=-30=-30$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

A solução é o par que devolve a soma 7.

$$a=10 b=-3$$

Reescreva -x^{2}+7x+30 como \left(-x^{2}+10x\right)+\left(-3x+30\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(-3x+30\right)$$

Fator out -x no primeiro e -3 no segundo grupo.

$$-x\left(x-10\right)-3\left(x-10\right)$$

Decomponha o termo comum x-10 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-10\right)\left(-x-3\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-10=0 e -x-3=0.

$$x=10 x=-3$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Divida ambos os lados por 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -5,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 6x\left(x+5\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+5,6.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Combine 6x e 6x para obter 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Subtraia 5x de ambos os lados.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Combine 12x e -5x para obter 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-x^{2}+7x+30=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, 7 por b e 30 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule o quadrado de 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 4 vezes 30.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\left(-1\right)}$$

Some 49 com 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$x=\frac{-7±13}{-2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-7±13}{-2} quando ± for uma adição. Some -7 com 13.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Divida 6 por -2.

$$x=-3$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-7±13}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia 13 de -7.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Divida -20 por -2.

$$x=10$$

A equação está resolvida.

$$x=-3 x=10$$

Passos Para Completar o Quadrado

Divida ambos os lados por 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -5,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 6x\left(x+5\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+5,6.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Combine 6x e 6x para obter 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Subtraia 5x de ambos os lados.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Combine 12x e -5x para obter 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Subtraia 30 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$7x-x^{2}=-30$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+7x=-30$$

Divida ambos os lados por -1.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=-\frac{30}{-1}$$

Dividir por -1 anula a multiplicação por -1.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=-\frac{30}{-1}$$

Divida 7 por -1.

$$x^{2}-7x=-\frac{30}{-1}$$

Divida -30 por -1.

$$x^{2}-7x=30$$

Divida -7, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{7}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{7}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{7}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Some 30 com \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Fatorize x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Some \frac{7}{2} a ambos os lados da equação.

$$x=10 x=-3$$