Resolver 6y^2+13y+6=0

$$6 y ^ { 2 } + 13 y + 6 = 0$$

Resolva para y

$$y = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 6y^{2}+ay+by+6. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=13 ab=6\times 6=36$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

A solução é o par que devolve a soma 13.

$$a=4 b=9$$

Reescreva 6y^{2}+13y+6 como \left(6y^{2}+4y\right)+\left(9y+6\right).

$$\left(6y^{2}+4y\right)+\left(9y+6\right)$$

Fator out 2y no primeiro e 3 no segundo grupo.

$$2y\left(3y+2\right)+3\left(3y+2\right)$$

Decomponha o termo comum 3y+2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3y+2\right)\left(2y+3\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 3y+2=0 e 2y+3=0.

$$y=-\frac{2}{3} y=-\frac{3}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$6y^{2}+13y+6=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 6 por a, 13 por b e 6 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Calcule o quadrado de 13.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Multiplique -4 vezes 6.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169-24\times 6}}{2\times 6}$$

Multiplique -24 vezes 6.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 6}$$

Some 169 com -144.

$$y=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 6}$$

Calcule a raiz quadrada de 25.

$$y=\frac{-13±5}{2\times 6}$$

Multiplique 2 vezes 6.

$$y=\frac{-13±5}{12}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{-13±5}{12} quando ± for uma adição. Some -13 com 5.

$$y=-\frac{8}{12}$$

Reduza a fração \frac{-8}{12} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{-13±5}{12} quando ± for uma subtração. Subtraia 5 de -13.

$$y=-\frac{18}{12}$$

Reduza a fração \frac{-18}{12} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$y=-\frac{3}{2}$$

A equação está resolvida.

$$y=-\frac{2}{3} y=-\frac{3}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$6y^{2}+13y+6=0$$

Subtraia 6 de ambos os lados da equação.

$$6y^{2}+13y+6-6=-6$$

Subtrair 6 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$6y^{2}+13y=-6$$

Divida ambos os lados por 6.

$$\frac{6y^{2}+13y}{6}=-\frac{6}{6}$$

Dividir por 6 anula a multiplicação por 6.

$$y^{2}+\frac{13}{6}y=-\frac{6}{6}$$

Divida -6 por 6.

$$y^{2}+\frac{13}{6}y=-1$$

Divida \frac{13}{6}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{13}{12}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{13}{12} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$y^{2}+\frac{13}{6}y+\left(\frac{13}{12}\right)^{2}=-1+\left(\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{13}{12}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$y^{2}+\frac{13}{6}y+\frac{169}{144}=-1+\frac{169}{144}$$

Some -1 com \frac{169}{144}.

$$y^{2}+\frac{13}{6}y+\frac{169}{144}=\frac{25}{144}$$

Fatorize y^{2}+\frac{13}{6}y+\frac{169}{144}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{25}{144}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(y+\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{144}}$$

Simplifique.

$$y+\frac{13}{12}=\frac{5}{12} y+\frac{13}{12}=-\frac{5}{12}$$

Subtraia \frac{13}{12} de ambos os lados da equação.

$$y=-\frac{2}{3} y=-\frac{3}{2}$$