Resolver 6x^2-x=15

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Resolva para x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 15 de ambos os lados.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 6x^{2}+ax+bx-15. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

A solução é o par que devolve a soma -1.

$$a=-10 b=9$$

Reescreva 6x^{2}-x-15 como \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right).

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

Fator out 2x no primeiro e 3 no segundo grupo.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

Decomponha o termo comum 3x-5 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 3x-5=0 e 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$6x^{2}-x=15$$

Subtraia 15 de ambos os lados da equação.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

Subtrair 15 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 6 por a, -1 por b e -15 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Multiplique -4 vezes 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Multiplique -24 vezes -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

Some 1 com 360.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Calcule a raiz quadrada de 361.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

O oposto de -1 é 1.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

Multiplique 2 vezes 6.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{1±19}{12} quando ± for uma adição. Some 1 com 19.

$$x=\frac{20}{12}$$

Reduza a fração \frac{20}{12} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{1±19}{12} quando ± for uma subtração. Subtraia 19 de 1.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Reduza a fração \frac{-18}{12} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=15$$

Divida ambos os lados por 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

Dividir por 6 anula a multiplicação por 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

Reduza a fração \frac{15}{6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 3.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

Divida -\frac{1}{6}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{1}{12}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{1}{12} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{1}{12}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

Some \frac{5}{2} com \frac{1}{144} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

Fatorize x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

Some \frac{1}{12} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$