Resolver 6u^2+84u+78=0

$$6 u ^ { 2 } + 84 u + 78 = 0$$

Resolva para u

$$u=-13$$

$$u=-1$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Divida ambos os lados por 6.

$$u^{2}+14u+13=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como u^{2}+au+bu+13. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=14 ab=1\times 13=13$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. O único par é a solução do sistema.

$$a=1 b=13$$

Reescreva u^{2}+14u+13 como \left(u^{2}+u\right)+\left(13u+13\right).

$$\left(u^{2}+u\right)+\left(13u+13\right)$$

Fator out u no primeiro e 13 no segundo grupo.

$$u\left(u+1\right)+13\left(u+1\right)$$

Decomponha o termo comum u+1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(u+1\right)\left(u+13\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva u+1=0 e u+13=0.

$$u=-1 u=-13$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$6u^{2}+84u+78=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 6 por a, 84 por b e 78 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$u=\frac{-84±\sqrt{84^{2}-4\times 6\times 78}}{2\times 6}$$

Calcule o quadrado de 84.

$$u=\frac{-84±\sqrt{7056-4\times 6\times 78}}{2\times 6}$$

Multiplique -4 vezes 6.

$$u=\frac{-84±\sqrt{7056-24\times 78}}{2\times 6}$$

Multiplique -24 vezes 78.

$$u=\frac{-84±\sqrt{7056-1872}}{2\times 6}$$

Some 7056 com -1872.

$$u=\frac{-84±\sqrt{5184}}{2\times 6}$$

Calcule a raiz quadrada de 5184.

$$u=\frac{-84±72}{2\times 6}$$

Multiplique 2 vezes 6.

$$u=\frac{-84±72}{12}$$

Agora, resolva a equação u=\frac{-84±72}{12} quando ± for uma adição. Some -84 com 72.

$$u=-\frac{12}{12}$$

Divida -12 por 12.

$$u=-1$$

Agora, resolva a equação u=\frac{-84±72}{12} quando ± for uma subtração. Subtraia 72 de -84.

$$u=-\frac{156}{12}$$

Divida -156 por 12.

$$u=-13$$

A equação está resolvida.

$$u=-1 u=-13$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$6u^{2}+84u+78=0$$

Subtraia 78 de ambos os lados da equação.

$$6u^{2}+84u+78-78=-78$$

Subtrair 78 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$6u^{2}+84u=-78$$

Divida ambos os lados por 6.

$$\frac{6u^{2}+84u}{6}=-\frac{78}{6}$$

Dividir por 6 anula a multiplicação por 6.

$$u^{2}+\frac{84}{6}u=-\frac{78}{6}$$

Divida 84 por 6.

$$u^{2}+14u=-\frac{78}{6}$$

Divida -78 por 6.

$$u^{2}+14u=-13$$

Divida 14, o coeficiente do termo x, 2 para obter 7. Em seguida, adicione o quadrado de 7 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$u^{2}+14u+7^{2}=-13+7^{2}$$

Calcule o quadrado de 7.

$$u^{2}+14u+49=-13+49$$

Some -13 com 49.

$$u^{2}+14u+49=36$$

Fatorize u^{2}+14u+49. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(u+7\right)^{2}=36$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(u+7\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Simplifique.

$$u+7=6 u+7=-6$$

Subtraia 7 de ambos os lados da equação.

$$u=-1 u=-13$$