Resolver 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Resolva para x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 6x^{2}+ax+bx-5. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

A solução é o par que devolve a soma 7.

$$a=-3 b=10$$

Reescreva 6x^{2}+7x-5 como \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

Fator out 3x no primeiro e 5 no segundo grupo.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Decomponha o termo comum 2x-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 2x-1=0 e 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 6 por a, 7 por b e -5 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Calcule o quadrado de 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Multiplique -4 vezes 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Multiplique -24 vezes -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Some 49 com 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Calcule a raiz quadrada de 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Multiplique 2 vezes 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-7±13}{12} quando ± for uma adição. Some -7 com 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Reduza a fração \frac{6}{12} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-7±13}{12} quando ± for uma subtração. Subtraia 13 de -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Reduza a fração \frac{-20}{12} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Some 5 a ambos os lados da equação.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Subtrair -5 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Subtraia -5 de 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Divida ambos os lados por 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

Dividir por 6 anula a multiplicação por 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Divida \frac{7}{6}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{7}{12}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{7}{12} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{7}{12}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Some \frac{5}{6} com \frac{49}{144} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Fatorize x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Subtraia \frac{7}{12} de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$