Resolver 54(1+x)(1+x)=1215

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

Resolva para x

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3,74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5,74341649$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Multiplique 1+x e 1+x para obter \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 54 por 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Subtraia 1215 de ambos os lados.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

Subtraia 1215 de 54 para obter -1161.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 54 por a, 108 por b e -1161 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Calcule o quadrado de 108.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Multiplique -4 vezes 54.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Multiplique -216 vezes -1161.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

Some 11664 com 250776.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

Calcule a raiz quadrada de 262440.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

Multiplique 2 vezes 54.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} quando ± for uma adição. Some -108 com 162\sqrt{10}.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

Divida -108+162\sqrt{10} por 108.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} quando ± for uma subtração. Subtraia 162\sqrt{10} de -108.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

Divida -108-162\sqrt{10} por 108.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Passos Para Completar o Quadrado

Multiplique 1+x e 1+x para obter \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 54 por 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Subtraia 54 de ambos os lados.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

Subtraia 54 de 1215 para obter 1161.

$$108x+54x^{2}=1161$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$54x^{2}+108x=1161$$

Divida ambos os lados por 54.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

Dividir por 54 anula a multiplicação por 54.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

Divida 108 por 54.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

Reduza a fração \frac{1161}{54} para os termos mais baixos ao retirar e anular 27.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

Divida 2, o coeficiente do termo x, 2 para obter 1. Em seguida, adicione o quadrado de 1 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

Calcule o quadrado de 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

Some \frac{43}{2} com 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

Fatorize x^{2}+2x+1. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

Simplifique.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

Subtraia 1 de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$