Resolver 53x^2+5x-12<0

$$53 x ^ { 2 } + 5 x - 12 < 0$$

Resolver o valor x

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Para resolver a desigualdade, fatorize o lado esquerdo. O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$53x^{2}+5x-12=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 53 por a, 5 por b e -12 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 53\left(-12\right)}}{2\times 53}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106}$$

Resolva a equação x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106} quando ± é mais e quando ± é menos.

$$x=\frac{\sqrt{2569}-5}{106} x=\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}$$

Rescreva a desigualdade ao utilizar as soluções obtidas.

$$53\left(x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}\right)<0$$

Para que o produto seja negativo, x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} e x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} têm de ser dos sinais opostos. Consideremos o caso em que x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} é positivo e x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} é negativo.

$$x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

Isto é falso para qualquer valor x.

$$x\in \emptyset$$

Consideremos o caso em que x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} é positivo e x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} é negativo.

$$x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

A solução que satisfaz ambas as desigualdades é x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

A solução final é a união das soluções obtidas.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$