Resolver 52z^2-43z+3

$$52 z ^ { 2 } - 43 z + 3$$

Fatorizar

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Passos Para a Resolução

Fatorize a expressão ao agrupar. Em primeiro lugar, a expressão tem de ser reescrita como 52z^{2}+az+bz+3. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-43 ab=52\times 3=156$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 156.

$$-1,-156 -2,-78 -3,-52 -4,-39 -6,-26 -12,-13$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-156=-157 -2-78=-80 -3-52=-55 -4-39=-43 -6-26=-32 -12-13=-25$$

A solução é o par que devolve a soma -43.

$$a=-39 b=-4$$

Reescreva 52z^{2}-43z+3 como \left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right).

$$\left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right)$$

Fator out 13z no primeiro e -1 no segundo grupo.

$$13z\left(4z-3\right)-\left(4z-3\right)$$

Decomponha o termo comum 4z-3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$52z^{2}-43z+3=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Calcule o quadrado de -43.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Multiplique -4 vezes 52.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-208\times 3}}{2\times 52}$$

Multiplique -208 vezes 3.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-624}}{2\times 52}$$

Some 1849 com -624.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1225}}{2\times 52}$$

Calcule a raiz quadrada de 1225.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±35}{2\times 52}$$

O oposto de -43 é 43.

$$z=\frac{43±35}{2\times 52}$$

Multiplique 2 vezes 52.

$$z=\frac{43±35}{104}$$

Agora, resolva a equação z=\frac{43±35}{104} quando ± for uma adição. Some 43 com 35.

$$z=\frac{78}{104}$$

Reduza a fração \frac{78}{104} para os termos mais baixos ao retirar e anular 26.

$$z=\frac{3}{4}$$

Agora, resolva a equação z=\frac{43±35}{104} quando ± for uma subtração. Subtraia 35 de 43.

$$z=\frac{8}{104}$$

Reduza a fração \frac{8}{104} para os termos mais baixos ao retirar e anular 8.

$$z=\frac{1}{13}$$

Fatorize a expressão original através de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitua \frac{3}{4} por x_{1} e \frac{1}{13} por x_{2}.

$$52z^{2}-43z+3=52\left(z-\frac{3}{4}\right)\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Subtraia \frac{3}{4} de z ao localizar um denominador comum e ao subtrair os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Subtraia \frac{1}{13} de z ao localizar um denominador comum e ao subtrair os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\times \frac{13z-1}{13}$$

Multiplique \frac{4z-3}{4} vezes \frac{13z-1}{13} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{4\times 13}$$

Multiplique 4 vezes 13.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{52}$$

Anule o maior fator comum 52 em 52 e 52.

$$52z^{2}-43z+3=\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Avaliar

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$