Resolver 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

Resolva para x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$5x-2y=1$$

Some 2y a ambos os lados da equação.

$$5x=2y+1$$

Divida ambos os lados por 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Multiplique \frac{1}{5} vezes 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Substitua \frac{2y+1}{5} por x na outra equação, 3x+5y=13.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

Multiplique 3 vezes \frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

Some \frac{6y}{5} com 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

Subtraia \frac{3}{5} de ambos os lados da equação.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

Divida ambos os lados da equação por \frac{31}{5}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=2$$

Substitua 2 por y em x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

Multiplique \frac{2}{5} vezes 2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Some \frac{1}{5} com \frac{4}{5} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=1$$

O sistema está resolvido.

$$x=1,y=2$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=1,y=2$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Para tornar 5x e 3x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 3 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

Simplifique.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

Subtraia 15x+25y=65 de 15x-6y=3 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

Some 15x com -15x. Os termos 15x e -15x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-6y-25y=3-65$$

Some -6y com -25y.

$$-31y=3-65$$

Some 3 com -65.

$$-31y=-62$$

Divida ambos os lados por -31.

$$y=2$$

Substitua 2 por y em 3x+5y=13. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$3x+5\times 2=13$$

Multiplique 5 vezes 2.

$$3x+10=13$$

Subtraia 10 de ambos os lados da equação.

$$3x=3$$

Divida ambos os lados por 3.

$$x=1$$

O sistema está resolvido.

$$x=1,y=2$$