Resolver 5x^2-7x=24

$$5 x ^ { 2 } - 7 x = 24$$

Resolva para x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=3$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 24 de ambos os lados.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 5x^{2}+ax+bx-24. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-7 ab=5\left(-24\right)=-120$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

A solução é o par que devolve a soma -7.

$$a=-15 b=8$$

Reescreva 5x^{2}-7x-24 como \left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)$$

Fator out 5x no primeiro e 8 no segundo grupo.

$$5x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Decomponha o termo comum x-3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(5x+8\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-3=0 e 5x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$5x^{2}-7x=24$$

Subtraia 24 de ambos os lados da equação.

$$5x^{2}-7x-24=24-24$$

Subtrair 24 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 5 por a, -7 por b e -24 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Calcule o quadrado de -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Multiplique -4 vezes 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Multiplique -20 vezes -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 5}$$

Some 49 com 480.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Calcule a raiz quadrada de 529.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 5}$$

O oposto de -7 é 7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 5}$$

Multiplique 2 vezes 5.

$$x=\frac{7±23}{10}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{7±23}{10} quando ± for uma adição. Some 7 com 23.

$$x=\frac{30}{10}$$

Divida 30 por 10.

$$x=3$$

Agora, resolva a equação x=\frac{7±23}{10} quando ± for uma subtração. Subtraia 23 de 7.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Reduza a fração \frac{-16}{10} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

A equação está resolvida.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x=24$$

Divida ambos os lados por 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{24}{5}$$

Dividir por 5 anula a multiplicação por 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{24}{5}$$

Divida -\frac{7}{5}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{7}{10}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{7}{10} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{7}{10}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{24}{5}+\frac{49}{100}$$

Some \frac{24}{5} com \frac{49}{100} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{529}{100}$$

Fatorize x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{23}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{23}{10}$$

Some \frac{7}{10} a ambos os lados da equação.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$