Resolver 5x^2+21x+4=0

$$5 x ^ { 2 } + 21 x + 4 = 0$$

Resolva para x

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 5x^{2}+ax+bx+4. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=21 ab=5\times 4=20$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

A solução é o par que devolve a soma 21.

$$a=1 b=20$$

Reescreva 5x^{2}+21x+4 como \left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right).

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)$$

Fator out x no primeiro e 4 no segundo grupo.

$$x\left(5x+1\right)+4\left(5x+1\right)$$

Decomponha o termo comum 5x+1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(5x+1\right)\left(x+4\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 5x+1=0 e x+4=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 5 por a, 21 por b e 4 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Calcule o quadrado de 21.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Multiplique -4 vezes 5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-20\times 4}}{2\times 5}$$

Multiplique -20 vezes 4.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 5}$$

Some 441 com -80.

$$x=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

Calcule a raiz quadrada de 361.

$$x=\frac{-21±19}{2\times 5}$$

Multiplique 2 vezes 5.

$$x=\frac{-21±19}{10}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-21±19}{10} quando ± for uma adição. Some -21 com 19.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Reduza a fração \frac{-2}{10} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-21±19}{10} quando ± for uma subtração. Subtraia 19 de -21.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Divida -40 por 10.

$$x=-4$$

A equação está resolvida.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Subtraia 4 de ambos os lados da equação.

$$5x^{2}+21x+4-4=-4$$

Subtrair 4 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$5x^{2}+21x=-4$$

Divida ambos os lados por 5.

$$\frac{5x^{2}+21x}{5}=-\frac{4}{5}$$

Dividir por 5 anula a multiplicação por 5.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x=-\frac{4}{5}$$

Divida \frac{21}{5}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{21}{10}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{21}{10} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{21}{10}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{100}$$

Some -\frac{4}{5} com \frac{441}{100} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=\frac{361}{100}$$

Fatorize x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{21}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{21}{10}=-\frac{19}{10}$$

Subtraia \frac{21}{10} de ambos os lados da equação.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$