Resolver 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

Resolva para y

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17,378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0,621455974$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 5 por a, -90 por b e 54 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Calcule o quadrado de -90.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Multiplique -4 vezes 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

Multiplique -20 vezes 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

Some 8100 com -1080.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

Calcule a raiz quadrada de 7020.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

O oposto de -90 é 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Multiplique 2 vezes 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} quando ± for uma adição. Some 90 com 6\sqrt{195}.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

Divida 90+6\sqrt{195} por 10.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Agora, resolva a equação y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} quando ± for uma subtração. Subtraia 6\sqrt{195} de 90.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

Divida 90-6\sqrt{195} por 10.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

A equação está resolvida.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Subtraia 54 de ambos os lados da equação.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

Subtrair 54 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$5y^{2}-90y=-54$$

Divida ambos os lados por 5.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

Dividir por 5 anula a multiplicação por 5.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

Divida -90 por 5.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

Divida -18, o coeficiente do termo x, 2 para obter -9. Em seguida, adicione o quadrado de -9 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -9.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

Some -\frac{54}{5} com 81.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

Fatorize y^{2}-18y+81. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

Simplifique.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

Some 9 a ambos os lados da equação.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$