Resolver 5x^2+10x-75=0

$$5 { x }^{ 2 } +10x-75 = 0$$

Resolva para x

$$x=-5$$

$$x=3$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Divida ambos os lados por 5.

$$x^{2}+2x-15=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx-15. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=2 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -15.

$$-1,15 -3,5$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

A solução é o par que devolve a soma 2.

$$a=-3 b=5$$

Reescreva x^{2}+2x-15 como \left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right)$$

Fator out x no primeiro e 5 no segundo grupo.

$$x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Decomponha o termo comum x-3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-3=0 e x+5=0.

$$x=3 x=-5$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 5 por a, 10 por b e -75 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Calcule o quadrado de 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Multiplique -4 vezes 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Multiplique -20 vezes -75.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+1500}}{2\times 5}$$

Some 100 com 1500.

$$x=\frac{-10±\sqrt{1600}}{2\times 5}$$

Calcule a raiz quadrada de 1600.

$$x=\frac{-10±40}{2\times 5}$$

Multiplique 2 vezes 5.

$$x=\frac{-10±40}{10}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-10±40}{10} quando ± for uma adição. Some -10 com 40.

$$x=\frac{30}{10}$$

Divida 30 por 10.

$$x=3$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-10±40}{10} quando ± for uma subtração. Subtraia 40 de -10.

$$x=-\frac{50}{10}$$

Divida -50 por 10.

$$x=-5$$

A equação está resolvida.

$$x=3 x=-5$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Some 75 a ambos os lados da equação.

$$5x^{2}+10x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Subtrair -75 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$5x^{2}+10x=-\left(-75\right)$$

Subtraia -75 de 0.

$$5x^{2}+10x=75$$

Divida ambos os lados por 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{75}{5}$$

Dividir por 5 anula a multiplicação por 5.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{75}{5}$$

Divida 10 por 5.

$$x^{2}+2x=\frac{75}{5}$$

Divida 75 por 5.

$$x^{2}+2x=15$$

Divida 2, o coeficiente do termo x, 2 para obter 1. Em seguida, adicione o quadrado de 1 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+2x+1^{2}=15+1^{2}$$

Calcule o quadrado de 1.

$$x^{2}+2x+1=15+1$$

Some 15 com 1.

$$x^{2}+2x+1=16$$

Fatorize x^{2}+2x+1. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=16$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Simplifique.

$$x+1=4 x+1=-4$$

Subtraia 1 de ambos os lados da equação.

$$x=3 x=-5$$