Resolver 49t^2-147t-196=0

$$49 t ^ { 2 } - 147 t - 196 = 0$$

Resolva para t

$$t=-1$$

$$t=4$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Divida ambos os lados por 49.

$$t^{2}-3t-4=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como t^{2}+at+bt-4. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -4.

$$1,-4 2,-2$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-4=-3 2-2=0$$

A solução é o par que devolve a soma -3.

$$a=-4 b=1$$

Reescreva t^{2}-3t-4 como \left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right).

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

Decomponha t em t^{2}-4t.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

Decomponha o termo comum t-4 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva t-4=0 e t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 49 por a, -147 por b e -196 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{\left(-147\right)^{2}-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Calcule o quadrado de -147.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Multiplique -4 vezes 49.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-196\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Multiplique -196 vezes -196.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609+38416}}{2\times 49}$$

Some 21609 com 38416.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{60025}}{2\times 49}$$

Calcule a raiz quadrada de 60025.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±245}{2\times 49}$$

O oposto de -147 é 147.

$$t=\frac{147±245}{2\times 49}$$

Multiplique 2 vezes 49.

$$t=\frac{147±245}{98}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{147±245}{98} quando ± for uma adição. Some 147 com 245.

$$t=\frac{392}{98}$$

Divida 392 por 98.

$$t=4$$

Agora, resolva a equação t=\frac{147±245}{98} quando ± for uma subtração. Subtraia 245 de 147.

$$t=-\frac{98}{98}$$

Divida -98 por 98.

$$t=-1$$

A equação está resolvida.

$$t=4 t=-1$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Some 196 a ambos os lados da equação.

$$49t^{2}-147t-196-\left(-196\right)=-\left(-196\right)$$

Subtrair -196 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$49t^{2}-147t=-\left(-196\right)$$

Subtraia -196 de 0.

$$49t^{2}-147t=196$$

Divida ambos os lados por 49.

$$\frac{49t^{2}-147t}{49}=\frac{196}{49}$$

Dividir por 49 anula a multiplicação por 49.

$$t^{2}+\left(-\frac{147}{49}\right)t=\frac{196}{49}$$

Divida -147 por 49.

$$t^{2}-3t=\frac{196}{49}$$

Divida 196 por 49.

$$t^{2}-3t=4$$

Divida -3, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{3}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{3}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{3}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Some 4 com \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Fatorize t^{2}-3t+\frac{9}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplifique.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Some \frac{3}{2} a ambos os lados da equação.

$$t=4 t=-1$$