Resolver 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Resolva para x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 42x^{2}+ax+bx-3. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

A solução é o par que devolve a soma -5.

$$a=-14 b=9$$

Reescreva 42x^{2}-5x-3 como \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Fator out 14x no primeiro e 3 no segundo grupo.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Decomponha o termo comum 3x-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 3x-1=0 e 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 42 por a, -5 por b e -3 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Calcule o quadrado de -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Multiplique -4 vezes 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Multiplique -168 vezes -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Some 25 com 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Calcule a raiz quadrada de 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

O oposto de -5 é 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Multiplique 2 vezes 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{5±23}{84} quando ± for uma adição. Some 5 com 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Reduza a fração \frac{28}{84} para os termos mais baixos ao retirar e anular 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{5±23}{84} quando ± for uma subtração. Subtraia 23 de 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Reduza a fração \frac{-18}{84} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Some 3 a ambos os lados da equação.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Subtrair -3 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Subtraia -3 de 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Divida ambos os lados por 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Dividir por 42 anula a multiplicação por 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Reduza a fração \frac{3}{42} para os termos mais baixos ao retirar e anular 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Divida -\frac{5}{42}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{5}{84}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{5}{84} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{5}{84}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Some \frac{1}{14} com \frac{25}{7056} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Fatorize x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Some \frac{5}{84} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$