Resolver 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

Resolva para x

$$x=\frac{1}{10}=0,1$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 40x^{2}+ax+bx+1. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

A solução é o par que devolve a soma -14.

$$a=-10 b=-4$$

Reescreva 40x^{2}-14x+1 como \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Fator out 10x no primeiro e -1 no segundo grupo.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Decomponha o termo comum 4x-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 4x-1=0 e 10x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 40 por a, -14 por b e 1 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

Calcule o quadrado de -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

Multiplique -4 vezes 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

Some 196 com -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

Calcule a raiz quadrada de 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

O oposto de -14 é 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

Multiplique 2 vezes 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{14±6}{80} quando ± for uma adição. Some 14 com 6.

$$x=\frac{20}{80}$$

Reduza a fração \frac{20}{80} para os termos mais baixos ao retirar e anular 20.

$$x=\frac{1}{4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{14±6}{80} quando ± for uma subtração. Subtraia 6 de 14.

$$x=\frac{8}{80}$$

Reduza a fração \frac{8}{80} para os termos mais baixos ao retirar e anular 8.

$$x=\frac{1}{10}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Subtraia 1 de ambos os lados da equação.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

Subtrair 1 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$40x^{2}-14x=-1$$

Divida ambos os lados por 40.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

Dividir por 40 anula a multiplicação por 40.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

Reduza a fração \frac{-14}{40} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

Divida -\frac{7}{20}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{7}{40}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{7}{40} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{7}{40}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

Some -\frac{1}{40} com \frac{49}{1600} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

Fatorize x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Some \frac{7}{40} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$