Resolver 4y^2-9y+2=0

$$4 y ^ { 2 } - 9 y + 2 = 0$$

Resolva para y

$$y=\frac{1}{4}=0,25$$

$$y=2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 4y^{2}+ay+by+2. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

A solução é o par que devolve a soma -9.

$$a=-8 b=-1$$

Reescreva 4y^{2}-9y+2 como \left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right).

$$\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right)$$

Fator out 4y no primeiro e -1 no segundo grupo.

$$4y\left(y-2\right)-\left(y-2\right)$$

Decomponha o termo comum y-2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(y-2\right)\left(4y-1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva y-2=0 e 4y-1=0.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, -9 por b e 2 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de -9.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplique -16 vezes 2.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

Some 81 com -32.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de 49.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

O oposto de -9 é 9.

$$y=\frac{9±7}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$y=\frac{9±7}{8}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{9±7}{8} quando ± for uma adição. Some 9 com 7.

$$y=\frac{16}{8}$$

Divida 16 por 8.

$$y=2$$

Agora, resolva a equação y=\frac{9±7}{8} quando ± for uma subtração. Subtraia 7 de 9.

$$y=\frac{2}{8}$$

Reduza a fração \frac{2}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$y=\frac{1}{4}$$

A equação está resolvida.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Subtraia 2 de ambos os lados da equação.

$$4y^{2}-9y+2-2=-2$$

Subtrair 2 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$4y^{2}-9y=-2$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4y^{2}-9y}{4}=-\frac{2}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{2}{4}$$

Reduza a fração \frac{-2}{4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Divida -\frac{9}{4}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{9}{8}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{9}{8} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{9}{8}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

Some -\frac{1}{2} com \frac{81}{64} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

Fatorize y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Simplifique.

$$y-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} y-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

Some \frac{9}{8} a ambos os lados da equação.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$