Resolver 4y^2-56y=108

$$4 y ^ { 2 } - 56 y = 108$$

Resolva para y

$$y=2\sqrt{19}+7\approx 15,717797887$$

$$y=7-2\sqrt{19}\approx -1,717797887$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$4y^{2}-56y=108$$

Subtraia 108 de ambos os lados da equação.

$$4y^{2}-56y-108=108-108$$

Subtrair 108 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$4y^{2}-56y-108=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, -56 por b e -108 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de -56.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-16\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -16 vezes -108.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136+1728}}{2\times 4}$$

Some 3136 com 1728.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{4864}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de 4864.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

O oposto de -56 é 56.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} quando ± for uma adição. Some 56 com 16\sqrt{19}.

$$y=\frac{16\sqrt{19}+56}{8}$$

Divida 56+16\sqrt{19} por 8.

$$y=2\sqrt{19}+7$$

Agora, resolva a equação y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} quando ± for uma subtração. Subtraia 16\sqrt{19} de 56.

$$y=\frac{56-16\sqrt{19}}{8}$$

Divida 56-16\sqrt{19} por 8.

$$y=7-2\sqrt{19}$$

A equação está resolvida.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-56y=108$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4y^{2}-56y}{4}=\frac{108}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{56}{4}\right)y=\frac{108}{4}$$

Divida -56 por 4.

$$y^{2}-14y=\frac{108}{4}$$

Divida 108 por 4.

$$y^{2}-14y=27$$

Divida -14, o coeficiente do termo x, 2 para obter -7. Em seguida, adicione o quadrado de -7 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$y^{2}-14y+\left(-7\right)^{2}=27+\left(-7\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -7.

$$y^{2}-14y+49=27+49$$

Some 27 com 49.

$$y^{2}-14y+49=76$$

Fatorize y^{2}-14y+49. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-7\right)^{2}=76$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(y-7\right)^{2}}=\sqrt{76}$$

Simplifique.

$$y-7=2\sqrt{19} y-7=-2\sqrt{19}$$

Some 7 a ambos os lados da equação.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$