Resolver 4y^2-17y+42=0

$$4 y ^ { 2 } - 17 y + 42 = 0$$

Resolva para y

$$y=\frac{17+\sqrt{383}i}{8}\approx 2,125+2,446298224i$$

$$y=\frac{-\sqrt{383}i+17}{8}\approx 2,125-2,446298224i$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$4y^{2}-17y+42=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, -17 por b e 42 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 4\times 42}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de -17.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 4\times 42}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-16\times 42}}{2\times 4}$$

Multiplique -16 vezes 42.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-672}}{2\times 4}$$

Some 289 com -672.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{-383}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de -383.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{383}i}{2\times 4}$$

O oposto de -17 é 17.

$$y=\frac{17±\sqrt{383}i}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$y=\frac{17±\sqrt{383}i}{8}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{17±\sqrt{383}i}{8} quando ± for uma adição. Some 17 com i\sqrt{383}.

$$y=\frac{17+\sqrt{383}i}{8}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{17±\sqrt{383}i}{8} quando ± for uma subtração. Subtraia i\sqrt{383} de 17.

$$y=\frac{-\sqrt{383}i+17}{8}$$

A equação está resolvida.

$$y=\frac{17+\sqrt{383}i}{8} y=\frac{-\sqrt{383}i+17}{8}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-17y+42=0$$

Subtraia 42 de ambos os lados da equação.

$$4y^{2}-17y+42-42=-42$$

Subtrair 42 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$4y^{2}-17y=-42$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4y^{2}-17y}{4}=-\frac{42}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$y^{2}-\frac{17}{4}y=-\frac{42}{4}$$

Reduza a fração \frac{-42}{4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$y^{2}-\frac{17}{4}y=-\frac{21}{2}$$

Divida -\frac{17}{4}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{17}{8}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{17}{8} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$y^{2}-\frac{17}{4}y+\left(-\frac{17}{8}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(-\frac{17}{8}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{17}{8}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$y^{2}-\frac{17}{4}y+\frac{289}{64}=-\frac{21}{2}+\frac{289}{64}$$

Some -\frac{21}{2} com \frac{289}{64} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$y^{2}-\frac{17}{4}y+\frac{289}{64}=-\frac{383}{64}$$

Fatorize y^{2}-\frac{17}{4}y+\frac{289}{64}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{17}{8}\right)^{2}=-\frac{383}{64}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{383}{64}}$$

Simplifique.

$$y-\frac{17}{8}=\frac{\sqrt{383}i}{8} y-\frac{17}{8}=-\frac{\sqrt{383}i}{8}$$

Some \frac{17}{8} a ambos os lados da equação.

$$y=\frac{17+\sqrt{383}i}{8} y=\frac{-\sqrt{383}i+17}{8}$$