Resolver 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Resolva para x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$4x-y=5$$

Some y a ambos os lados da equação.

$$4x=y+5$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Multiplique \frac{1}{4} vezes y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Substitua \frac{5+y}{4} por x na outra equação, -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Multiplique -4 vezes \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Some -y com 5y.

$$4y-5=7$$

Some 5 a ambos os lados da equação.

$$4y=12$$

Divida ambos os lados por 4.

$$y=3$$

Substitua 3 por y em x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Multiplique \frac{1}{4} vezes 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Some \frac{5}{4} com \frac{3}{4} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=2$$

O sistema está resolvido.

$$x=2,y=3$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=2,y=3$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Para tornar 4x e -4x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por -4 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Simplifique.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Subtraia -16x+20y=28 de -16x+4y=-20 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Some -16x com 16x. Os termos -16x e 16x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$4y-20y=-20-28$$

Some 4y com -20y.

$$-16y=-20-28$$

Some -20 com -28.

$$-16y=-48$$

Divida ambos os lados por -16.

$$y=3$$

Substitua 3 por y em -4x+5y=7. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$-4x+5\times 3=7$$

Multiplique 5 vezes 3.

$$-4x+15=7$$

Subtraia 15 de ambos os lados da equação.

$$-4x=-8$$

Divida ambos os lados por -4.

$$x=2$$

O sistema está resolvido.

$$x=2,y=3$$