Resolver 4x-5y=2text{and}x+10y=41

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

Resolva para x, y

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3,6$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$4x-5y=2$$

Some 5y a ambos os lados da equação.

$$4x=5y+2$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

Multiplique \frac{1}{4} vezes 5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Substitua \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} por x na outra equação, x+10y=41.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

Some \frac{5y}{4} com 10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

Subtraia \frac{1}{2} de ambos os lados da equação.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

Divida ambos os lados da equação por \frac{45}{4}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=\frac{18}{5}$$

Substitua \frac{18}{5} por y em x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

Multiplique \frac{5}{4} vezes \frac{18}{5} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

Some \frac{1}{2} com \frac{9}{2} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=5$$

O sistema está resolvido.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Para tornar 4x e x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 1 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 4.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

Simplifique.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

Subtraia 4x+40y=164 de 4x-5y=2 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

Some 4x com -4x. Os termos 4x e -4x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-5y-40y=2-164$$

Some -5y com -40y.

$$-45y=2-164$$

Some 2 com -164.

$$-45y=-162$$

Divida ambos os lados por -45.

$$y=\frac{18}{5}$$

Substitua \frac{18}{5} por y em x+10y=41. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

Multiplique 10 vezes \frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

Subtraia 36 de ambos os lados da equação.

$$x=5$$

O sistema está resolvido.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$