Resolver 4x-5y=-14text{and}7x+y=-5

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

Resolva para x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$4x-5y=-14$$

Some 5y a ambos os lados da equação.

$$4x=5y-14$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

Multiplique \frac{1}{4} vezes 5y-14.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Substitua \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} por x na outra equação, 7x+y=-5.

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

Multiplique 7 vezes \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

Some \frac{35y}{4} com y.

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

Some \frac{49}{2} a ambos os lados da equação.

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

Divida ambos os lados da equação por \frac{39}{4}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=2$$

Substitua 2 por y em x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

Multiplique \frac{5}{4} vezes 2.

$$x=\frac{5-7}{2}$$

Some -\frac{7}{2} com \frac{5}{2} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=-1$$

O sistema está resolvido.

$$x=-1,y=2$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=-1,y=2$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Para tornar 4x e 7x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 7 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

Simplifique.

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

Subtraia 28x+4y=-20 de 28x-35y=-98 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

Some 28x com -28x. Os termos 28x e -28x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-35y-4y=-98+20$$

Some -35y com -4y.

$$-39y=-98+20$$

Some -98 com 20.

$$-39y=-78$$

Divida ambos os lados por -39.

$$y=2$$

Substitua 2 por y em 7x+y=-5. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$7x+2=-5$$

Subtraia 2 de ambos os lados da equação.

$$7x=-7$$

Divida ambos os lados por 7.

$$x=-1$$

O sistema está resolvido.

$$x=-1,y=2$$