Resolver 4x-3y=2text{and}x+5y=-11

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Resolva para x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$4x-3y=2$$

Some 3y a ambos os lados da equação.

$$4x=3y+2$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Multiplique \frac{1}{4} vezes 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Substitua \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} por x na outra equação, x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Some \frac{3y}{4} com 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Subtraia \frac{1}{2} de ambos os lados da equação.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Divida ambos os lados da equação por \frac{23}{4}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=-2$$

Substitua -2 por y em x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Multiplique \frac{3}{4} vezes -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Some \frac{1}{2} com -\frac{3}{2} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=-1$$

O sistema está resolvido.

$$x=-1,y=-2$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=-1,y=-2$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Para tornar 4x e x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 1 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Simplifique.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Subtraia 4x+20y=-44 de 4x-3y=2 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Some 4x com -4x. Os termos 4x e -4x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-3y-20y=2+44$$

Some -3y com -20y.

$$-23y=2+44$$

Some 2 com 44.

$$-23y=46$$

Divida ambos os lados por -23.

$$y=-2$$

Substitua -2 por y em x+5y=-11. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Multiplique 5 vezes -2.

$$x-10=-11$$

Some 10 a ambos os lados da equação.

$$x=-1$$

O sistema está resolvido.

$$x=-1,y=-2$$