Resolver 4x(x-4)+7geq0

$$4 x ( x - 4 ) + 7 \geq 0$$

Resolver o valor x

$$x\in (-\infty,\frac{1}{2}]\cup [\frac{7}{2},\infty)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4x por x-4.

$$4x^{2}-16x+7\geq 0$$

Para resolver a desigualdade, fatorize o lado esquerdo. O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-16x+7=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 4 por a, -16 por b e 7 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{16±12}{8}$$

Resolva a equação x=\frac{16±12}{8} quando ± é mais e quando ± é menos.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{2}$$

Rescreva a desigualdade ao utilizar as soluções obtidas.

$$4\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\geq 0$$

Para que o produto seja ≥0, x-\frac{7}{2} e x-\frac{1}{2} têm de ser ≤0 ou ambos ≥0. Considere o caso quando x-\frac{7}{2} e x-\frac{1}{2} são ≤0.

$$x-\frac{7}{2}\leq 0 x-\frac{1}{2}\leq 0$$

A solução que satisfaz ambas as desigualdades é x\leq \frac{1}{2}.

$$x\leq \frac{1}{2}$$

Considere o caso quando x-\frac{7}{2} e x-\frac{1}{2} são ≥0.

$$x-\frac{1}{2}\geq 0 x-\frac{7}{2}\geq 0$$

A solução que satisfaz ambas as desigualdades é x\geq \frac{7}{2}.

$$x\geq \frac{7}{2}$$

A solução final é a união das soluções obtidas.

$$x\leq \frac{1}{2}\text{; }x\geq \frac{7}{2}$$