Resolver 4x^2-7x+3=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x + 3 = 0$$

Resolva para x

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 4x^{2}+ax+bx+3. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-7 ab=4\times 3=12$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

A solução é o par que devolve a soma -7.

$$a=-4 b=-3$$

Reescreva 4x^{2}-7x+3 como \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Fator out 4x no primeiro e -3 no segundo grupo.

$$4x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

Decomponha o termo comum x-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(4x-3\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-1=0 e 4x-3=0.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, -7 por b e 3 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

Multiplique -16 vezes 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

Some 49 com -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 4}$$

O oposto de -7 é 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$x=\frac{7±1}{8}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{7±1}{8} quando ± for uma adição. Some 7 com 1.

$$x=\frac{8}{8}$$

Divida 8 por 8.

$$x=1$$

Agora, resolva a equação x=\frac{7±1}{8} quando ± for uma subtração. Subtraia 1 de 7.

$$x=\frac{6}{8}$$

Reduza a fração \frac{6}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=\frac{3}{4}$$

A equação está resolvida.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Subtraia 3 de ambos os lados da equação.

$$4x^{2}-7x+3-3=-3$$

Subtrair 3 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$4x^{2}-7x=-3$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=-\frac{3}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=-\frac{3}{4}$$

Divida -\frac{7}{4}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{7}{8}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{7}{8} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{7}{8}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

Some -\frac{3}{4} com \frac{49}{64} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

Fatorize x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{1}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

Some \frac{7}{8} a ambos os lados da equação.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$