Resolver 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Resolva para x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 4x^{2}+ax+bx+1. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

A solução é o par que devolve a soma -4.

$$a=-2 b=-2$$

Reescreva 4x^{2}-4x+1 como \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Fator out 2x no primeiro e -1 no segundo grupo.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Decomponha o termo comum 2x-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Reescreva como um quadrado binomial.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

Para localizar a solução da equação, resolva 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, -4 por b e 1 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Some 16 com -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de 0.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

O oposto de -4 é 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

Reduza a fração \frac{4}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Subtraia 1 de ambos os lados da equação.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

Subtrair 1 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Divida -4 por 4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Divida -1, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{1}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{1}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{1}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Some -\frac{1}{4} com \frac{1}{4} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

Fatorize x^{2}-x+\frac{1}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifique.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Some \frac{1}{2} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

A equação está resolvida. As soluções são iguais.

$$x=\frac{1}{2}$$