Resolver 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Resolva para x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 4x^{2}+ax+bx-27. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

A solução é o par que devolve a soma -12.

$$a=-18 b=6$$

Reescreva 4x^{2}-12x-27 como \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

Fator out 2x no primeiro e 3 no segundo grupo.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Decomponha o termo comum 2x-9 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 2x-9=0 e 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, -12 por b e -27 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -16 vezes -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Some 144 com 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

O oposto de -12 é 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{12±24}{8} quando ± for uma adição. Some 12 com 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Reduza a fração \frac{36}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{12±24}{8} quando ± for uma subtração. Subtraia 24 de 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Reduza a fração \frac{-12}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Some 27 a ambos os lados da equação.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Subtrair -27 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Subtraia -27 de 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Divida -12 por 4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Divida -3, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{3}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{3}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{3}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Some \frac{27}{4} com \frac{9}{4} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Fatorize x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplifique.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Some \frac{3}{2} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$