Resolver 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Resolva para x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 4x^{2}+ax+bx-81. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -324.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

A solução é o par que devolve a soma 48.

$$a=-6 b=54$$

Reescreva 4x^{2}+48x-81 como \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Fator out 2x no primeiro e 27 no segundo grupo.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Decomponha o termo comum 2x-3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 2x-3=0 e 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, 48 por b e -81 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -16 vezes -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Some 2304 com 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-48±60}{8} quando ± for uma adição. Some -48 com 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Reduza a fração \frac{12}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-48±60}{8} quando ± for uma subtração. Subtraia 60 de -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Reduza a fração \frac{-108}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Some 81 a ambos os lados da equação.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Subtrair -81 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Subtraia -81 de 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Divida 48 por 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Divida 12, o coeficiente do termo x, 2 para obter 6. Em seguida, adicione o quadrado de 6 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Calcule o quadrado de 6.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Some \frac{81}{4} com 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Fatorize x^{2}+12x+36. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Simplifique.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Subtraia 6 de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$