Resolver 4x^2+4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Resolva para x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 4x^{2}+ax+bx+1. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=4 ab=4\times 1=4$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 4.

$$1,4 2,2$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+4=5 2+2=4$$

A solução é o par que devolve a soma 4.

$$a=2 b=2$$

Reescreva 4x^{2}+4x+1 como \left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right).

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right)$$

Decomponha 2x em 4x^{2}+2x.

$$2x\left(2x+1\right)+2x+1$$

Decomponha o termo comum 2x+1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Reescreva como um quadrado binomial.

$$\left(2x+1\right)^{2}$$

Para localizar a solução da equação, resolva 2x+1=0.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, 4 por b e 1 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Some 16 com -16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de 0.

$$x=-\frac{4}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Reduza a fração \frac{-4}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Subtraia 1 de ambos os lados da equação.

$$4x^{2}+4x+1-1=-1$$

Subtrair 1 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$4x^{2}+4x=-1$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Divida 4 por 4.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{4}$$

Divida 1, o coeficiente do termo x, por 2 para obter \frac{1}{2}. Em seguida, some o quadrado de \frac{1}{2} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{1}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Some -\frac{1}{4} com \frac{1}{4} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=0$$

Fatorize x^{2}+x+\frac{1}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifique.

$$x+\frac{1}{2}=0 x+\frac{1}{2}=0$$

Subtraia \frac{1}{2} de ambos os lados da equação.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{1}{2}$$

A equação está resolvida. As soluções são iguais.

$$x=-\frac{1}{2}$$