Resolver 4x^2+12x+19=0

$$4 x ^ { 2 } + 12 x + 19 = 0$$

Resolva para x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}\approx -1,5+1,58113883i$$

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}\approx -1,5-1,58113883i$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$4x^{2}+12x+19=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, 12 por b e 19 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 19}}{2\times 4}$$

Multiplique -16 vezes 19.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-304}}{2\times 4}$$

Some 144 com -304.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-160}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de -160.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8} quando ± for uma adição. Some -12 com 4i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{10}i}{8}$$

Divida -12+4i\sqrt{10} por 8.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8} quando ± for uma subtração. Subtraia 4i\sqrt{10} de -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{10}i-12}{8}$$

Divida -12-4i\sqrt{10} por 8.

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+12x+19=0$$

Subtraia 19 de ambos os lados da equação.

$$4x^{2}+12x+19-19=-19$$

Subtrair 19 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$4x^{2}+12x=-19$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4x^{2}+12x}{4}=-\frac{19}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$x^{2}+\frac{12}{4}x=-\frac{19}{4}$$

Divida 12 por 4.

$$x^{2}+3x=-\frac{19}{4}$$

Divida 3, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{3}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{3}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{3}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-19+9}{4}$$

Some -\frac{19}{4} com \frac{9}{4} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{5}{2}$$

Fatorize x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{2}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{10}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{10}i}{2}$$

Subtraia \frac{3}{2} de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$