Resolver 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Resolva para n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 11 de ambos os lados.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 4n^{2}+an+bn-11. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

A solução é o par que devolve a soma -7.

$$a=-11 b=4$$

Reescreva 4n^{2}-7n-11 como \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Decomponha n em 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Decomponha o termo comum 4n-11 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 4n-11=0 e n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$4n^{2}-7n=11$$

Subtraia 11 de ambos os lados da equação.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Subtrair 11 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, -7 por b e -11 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -16 vezes -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Some 49 com 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

O oposto de -7 é 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Agora, resolva a equação n=\frac{7±15}{8} quando ± for uma adição. Some 7 com 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Reduza a fração \frac{22}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Agora, resolva a equação n=\frac{7±15}{8} quando ± for uma subtração. Subtraia 15 de 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Divida -8 por 8.

$$n=-1$$

A equação está resolvida.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Divida -\frac{7}{4}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{7}{8}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{7}{8} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{7}{8}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Some \frac{11}{4} com \frac{49}{64} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Fatorize n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Simplifique.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Some \frac{7}{8} a ambos os lados da equação.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$