Resolver 4n^2-12n+9=0

$$4 n ^ { 2 } - 12 n + 9 = 0$$

Resolva para n

$$n = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 4n^{2}+an+bn+9. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-12 ab=4\times 9=36$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

A solução é o par que devolve a soma -12.

$$a=-6 b=-6$$

Reescreva 4n^{2}-12n+9 como \left(4n^{2}-6n\right)+\left(-6n+9\right).

$$\left(4n^{2}-6n\right)+\left(-6n+9\right)$$

Fator out 2n no primeiro e -3 no segundo grupo.

$$2n\left(2n-3\right)-3\left(2n-3\right)$$

Decomponha o termo comum 2n-3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(2n-3\right)\left(2n-3\right)$$

Reescreva como um quadrado binomial.

$$\left(2n-3\right)^{2}$$

Para localizar a solução da equação, resolva 2n-3=0.

$$n=\frac{3}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$4n^{2}-12n+9=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, -12 por b e 9 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de -12.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplique -16 vezes 9.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

Some 144 com -144.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de 0.

$$n=-\frac{-12}{2\times 4}$$

O oposto de -12 é 12.

$$n=\frac{12}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$n=\frac{12}{8}$$

Reduza a fração \frac{12}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$n=\frac{3}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-12n+9=0$$

Subtraia 9 de ambos os lados da equação.

$$4n^{2}-12n+9-9=-9$$

Subtrair 9 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$4n^{2}-12n=-9$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4n^{2}-12n}{4}=-\frac{9}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$n^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)n=-\frac{9}{4}$$

Divida -12 por 4.

$$n^{2}-3n=-\frac{9}{4}$$

Divida -3, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{3}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{3}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$n^{2}-3n+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{3}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$n^{2}-3n+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Some -\frac{9}{4} com \frac{9}{4} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$n^{2}-3n+\frac{9}{4}=0$$

Fatorize n^{2}-3n+\frac{9}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(n-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifique.

$$n-\frac{3}{2}=0 n-\frac{3}{2}=0$$

Some \frac{3}{2} a ambos os lados da equação.

$$n=\frac{3}{2} n=\frac{3}{2}$$

A equação está resolvida. As soluções são iguais.

$$n=\frac{3}{2}$$