Resolver 4(1+1/x)=x^2-1

$$4 ( 1 + \frac { 1 } { x } ) = x ^ { 2 } - 1$$

Resolva para x

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1,561552813$$

$$x=-1$$

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2,561552813$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a 0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplique ambos os lados da equação por x.

$$4\left(1+\frac{1}{x}\right)x=xx^{2}+x\left(-1\right)$$

Para multiplicar as potências da mesma base, some os seus expoentes. Some 1 e 2 para obter 3.

$$4\left(1+\frac{1}{x}\right)x=x^{3}+x\left(-1\right)$$

Para adicionar ou subtrair expressões, expanda-as para que os denominadores sejam iguais. Multiplique 1 vezes \frac{x}{x}.

$$4\left(\frac{x}{x}+\frac{1}{x}\right)x=x^{3}+x\left(-1\right)$$

Uma vez que \frac{x}{x} e \frac{1}{x} têm o mesmo denominador, some-os ao somar os respetivos numeradores.

$$4\times \frac{x+1}{x}x=x^{3}+x\left(-1\right)$$

Expresse 4\times \frac{x+1}{x} como uma fração única.

$$\frac{4\left(x+1\right)}{x}x=x^{3}+x\left(-1\right)$$

Expresse \frac{4\left(x+1\right)}{x}x como uma fração única.

$$\frac{4\left(x+1\right)x}{x}=x^{3}+x\left(-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4 por x+1.

$$\frac{\left(4x+4\right)x}{x}=x^{3}+x\left(-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4x+4 por x.

$$\frac{4x^{2}+4x}{x}=x^{3}+x\left(-1\right)$$

Subtraia x^{3} de ambos os lados.

$$\frac{4x^{2}+4x}{x}-x^{3}=x\left(-1\right)$$

Para adicionar ou subtrair expressões, expanda-as para que os denominadores sejam iguais. Multiplique x^{3} vezes \frac{x}{x}.

$$\frac{4x^{2}+4x}{x}-\frac{x^{3}x}{x}=x\left(-1\right)$$

Uma vez que \frac{4x^{2}+4x}{x} e \frac{x^{3}x}{x} têm o mesmo denominador, subtraia-os ao subtrair os respetivos numeradores.

$$\frac{4x^{2}+4x-x^{3}x}{x}=x\left(-1\right)$$

Efetue as multiplicações em 4x^{2}+4x-x^{3}x.

$$\frac{4x^{2}+4x-x^{4}}{x}=x\left(-1\right)$$

Subtraia x\left(-1\right) de ambos os lados.

$$\frac{4x^{2}+4x-x^{4}}{x}-x\left(-1\right)=0$$

Para adicionar ou subtrair expressões, expanda-as para que os denominadores sejam iguais. Multiplique x\left(-1\right) vezes \frac{x}{x}.

$$\frac{4x^{2}+4x-x^{4}}{x}-\frac{x\left(-1\right)x}{x}=0$$

Uma vez que \frac{4x^{2}+4x-x^{4}}{x} e \frac{x\left(-1\right)x}{x} têm o mesmo denominador, subtraia-os ao subtrair os respetivos numeradores.

$$\frac{4x^{2}+4x-x^{4}-x\left(-1\right)x}{x}=0$$

Efetue as multiplicações em 4x^{2}+4x-x^{4}-x\left(-1\right)x.

$$\frac{4x^{2}+4x-x^{4}+x^{2}}{x}=0$$

Combine termos semelhantes em 4x^{2}+4x-x^{4}+x^{2}.

$$\frac{5x^{2}+4x-x^{4}}{x}=0$$

A variável x não pode ser igual a 0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplique ambos os lados da equação por x.

$$5x^{2}+4x-x^{4}=0$$

Substitua t por x^{2}.

$$-t^{2}+5t+4=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua -1 por a, 5 por b e 4 por c na fórmula quadrática.

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{-2}$$

Efetue os cálculos.

$$t=\frac{-5±\sqrt{41}}{-2}$$

Resolva a equação t=\frac{-5±\sqrt{41}}{-2} quando ± é mais e quando ± é menos.

$$t=\frac{5-\sqrt{41}}{2} t=\frac{\sqrt{41}+5}{2}$$

Desde x=t^{2}, as soluções são obtidas avaliando x=±\sqrt{t} para t positivos.

$$x=\frac{\sqrt{2\sqrt{41}+10}}{2} x=-\frac{\sqrt{2\sqrt{41}+10}}{2}$$