Resolver 4y^2-4y-8=0

$$4 { y }^{ 2 } -4y-8=0$$

Resolva para y

$$y=-1$$

$$y=2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Divida ambos os lados por 4.

$$y^{2}-y-2=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como y^{2}+ay+by-2. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. O único par é a solução do sistema.

$$a=-2 b=1$$

Reescreva y^{2}-y-2 como \left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right).

$$\left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right)$$

Decomponha y em y^{2}-2y.

$$y\left(y-2\right)+y-2$$

Decomponha o termo comum y-2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(y-2\right)\left(y+1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva y-2=0 e y+1=0.

$$y=2 y=-1$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, -4 por b e -8 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de -4.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -16 vezes -8.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+128}}{2\times 4}$$

Some 16 com 128.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de 144.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±12}{2\times 4}$$

O oposto de -4 é 4.

$$y=\frac{4±12}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$y=\frac{4±12}{8}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{4±12}{8} quando ± for uma adição. Some 4 com 12.

$$y=\frac{16}{8}$$

Divida 16 por 8.

$$y=2$$

Agora, resolva a equação y=\frac{4±12}{8} quando ± for uma subtração. Subtraia 12 de 4.

$$y=-\frac{8}{8}$$

Divida -8 por 8.

$$y=-1$$

A equação está resolvida.

$$y=2 y=-1$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

Some 8 a ambos os lados da equação.

$$4y^{2}-4y-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Subtrair -8 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$4y^{2}-4y=-\left(-8\right)$$

Subtraia -8 de 0.

$$4y^{2}-4y=8$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4y^{2}-4y}{4}=\frac{8}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)y=\frac{8}{4}$$

Divida -4 por 4.

$$y^{2}-y=\frac{8}{4}$$

Divida 8 por 4.

$$y^{2}-y=2$$

Divida -1, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{1}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{1}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{1}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Some 2 com \frac{1}{4}.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Fatorize y^{2}-y+\frac{1}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifique.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Some \frac{1}{2} a ambos os lados da equação.

$$y=2 y=-1$$