Resolver 4x^4-37x^2+9

$$4 { x }^{ 4 } -37 { x }^{ 2 } +9$$

Fatorizar

$$\left(x-3\right)\left(2x-1\right)\left(x+3\right)\left(2x+1\right)$$

Passos Para a Resolução

Para fatorizar o resultado, resolva a equação igual a 0.

$$4x^{4}-37x^{2}+9=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante 9 e q divide o coeficiente inicial 4. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=3$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir 4x^{4}-37x^{2}+9 por x-3 para obter 4x^{3}+12x^{2}-x-3. Para fatorizar o resultado, resolva a equação igual a 0.

$$4x^{3}+12x^{2}-x-3=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante -3 e q divide o coeficiente inicial 4. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=-3$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir 4x^{3}+12x^{2}-x-3 por x+3 para obter 4x^{2}-1. Para fatorizar o resultado, resolva a equação igual a 0.

$$4x^{2}-1=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 4 por a, 0 por b e -1 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{0±4}{8}$$

Resolva a equação 4x^{2}-1=0 quando ± é mais e quando ± é menos.

$$x=-\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

Reescreva a expressão fatorizada ao utilizar as raízes obtidas.

$$\left(x-3\right)\left(2x-1\right)\left(x+3\right)\left(2x+1\right)$$

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$$4x^{4}-37x^{2}+9$$