Resolver 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Resolva para x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 4x^{2}+ax+bx-15. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

A solução é o par que devolve a soma -4.

$$a=-10 b=6$$

Reescreva 4x^{2}-4x-15 como \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

Fator out 2x no primeiro e 3 no segundo grupo.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Decomponha o termo comum 2x-5 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 2x-5=0 e 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, -4 por b e -15 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -16 vezes -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Some 16 com 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

O oposto de -4 é 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{4±16}{8} quando ± for uma adição. Some 4 com 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

Reduza a fração \frac{20}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{4±16}{8} quando ± for uma subtração. Subtraia 16 de 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Reduza a fração \frac{-12}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Some 15 a ambos os lados da equação.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Subtrair -15 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Subtraia -15 de 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Divida -4 por 4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Divida -1, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{1}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{1}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{1}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Some \frac{15}{4} com \frac{1}{4} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Fatorize x^{2}-x+\frac{1}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplifique.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Some \frac{1}{2} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$