Resolver 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Resolva para x

$$x=-6$$

$$x=5$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 120 de ambos os lados.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx-30. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

A solução é o par que devolve a soma 1.

$$a=-5 b=6$$

Reescreva x^{2}+x-30 como \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Decomponha x no primeiro grupo e 6 no segundo.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Decomponha o termo comum x-5 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Para localizar soluções de equação, solucione x-5=0 e x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$4x^{2}+4x=120$$

Subtraia 120 de ambos os lados da equação.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Subtrair 120 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, 4 por b e -120 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -16 vezes -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Some 16 com 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-4±44}{8} quando ± for uma adição. Some -4 com 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Divida 40 por 8.

$$x=5$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-4±44}{8} quando ± for uma subtração. Subtraia 44 de -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Divida -48 por 8.

$$x=-6$$

A equação está resolvida.

$$x=5 x=-6$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Divida 4 por 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Divida 120 por 4.

$$x^{2}+x=30$$

Divida 1, o coeficiente do termo x, por 2 para obter \frac{1}{2}. Em seguida, some o quadrado de \frac{1}{2} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{1}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Some 30 com \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Fatorize x^{2}+x+\frac{1}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Subtraia \frac{1}{2} de ambos os lados da equação.

$$x=5 x=-6$$