Resolver 4a^2-5a+1=0

$$4 { a }^{ 2 } -5a+1 = 0$$

Resolva para a

$$a=\frac{1}{4}=0,25$$

$$a=1$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 4a^{2}+aa+ba+1. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

A solução é o par que devolve a soma -5.

$$a=-4 b=-1$$

Reescreva 4a^{2}-5a+1 como \left(4a^{2}-4a\right)+\left(-a+1\right).

$$\left(4a^{2}-4a\right)+\left(-a+1\right)$$

Fator out 4a no primeiro e -1 no segundo grupo.

$$4a\left(a-1\right)-\left(a-1\right)$$

Decomponha o termo comum a-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(a-1\right)\left(4a-1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva a-1=0 e 4a-1=0.

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$4a^{2}-5a+1=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, -5 por b e 1 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de -5.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Some 25 com -16.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de 9.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

O oposto de -5 é 5.

$$a=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$a=\frac{5±3}{8}$$

Agora, resolva a equação a=\frac{5±3}{8} quando ± for uma adição. Some 5 com 3.

$$a=\frac{8}{8}$$

Divida 8 por 8.

$$a=1$$

Agora, resolva a equação a=\frac{5±3}{8} quando ± for uma subtração. Subtraia 3 de 5.

$$a=\frac{2}{8}$$

Reduza a fração \frac{2}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$a=\frac{1}{4}$$

A equação está resolvida.

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$4a^{2}-5a+1=0$$

Subtraia 1 de ambos os lados da equação.

$$4a^{2}-5a+1-1=-1$$

Subtrair 1 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$4a^{2}-5a=-1$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4a^{2}-5a}{4}=-\frac{1}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a=-\frac{1}{4}$$

Divida -\frac{5}{4}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{5}{8}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{5}{8} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{5}{8}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Some -\frac{1}{4} com \frac{25}{64} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Fatorize a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Simplifique.

$$a-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} a-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Some \frac{5}{8} a ambos os lados da equação.

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$