Em álgebra, a fórmula quadrática, também conhecida como fórmula de Bhaskara no Brasil, é uma fórmula que fornece a solução de uma equação do 2º grau. Existem outras formas de resolver uma equação quadrática, como fatoração, completamento de quadrados, pelo gráfico da função e outras. Dada uma equação quadrática geral no formato: displaystyleax²+bx+c=0 cujo discriminante displaystyleb²-4ac é positivo (onde displaystyle x representa um valor desconhecido, displaystyle a , displaystyle b e displaystyle c representam constantes, sendo displaystyleaneq0), a fórmula quadrática é: displaystylex=frac-bpmsqrtb²-4ac2a na qual o sinal de mais ou menos "±" indica que a equação quadrática tem duas soluções. Quando escritas separadamente, estas são: displaystylex₁=frac-b+sqrtb²-4ac2aquadtextequadx₂=frac-b-sqrtb²-4ac2a Cada uma dessas duas soluções é chamada de raiz (ou zero) da equação quadrática. Geometricamente, essas raízes representam os valores de displaystyle x em que qualquer parábola, descrita como displaystyley=ax²+bx+c, cruza o eixo displaystyle x. Além de ser uma fórmula que fornece as raízes de qualquer parábola, a fórmula quadrática também pode ser usada para identificar o eixo de simetria da mesma parábola, e o número de raízes reais que uma equação quadrática contém. Embora no Brasil seja comumente atribuída a Bhaskara II, uma variante da fórmula que fornece a raiz real de uma equação quadrática já havia sido descoberta séculos antes do nascimento de Bhaskara, pelo matemático indiano Brahmagupta. Em partes da Alemanha e da Suíça, a fórmula é coloquialmente conhecida como a "fórmula da meia-noite", porque os alunos devem ser capazes de recitá-la mesmo que sejam acordados à meia-noite. Quando o discriminante displaystyleb²-4ac é positivo, a fórmula quadrática também pode ser escrita no formato displaystylex=-fracb2apmsqrtfracb²-4ac4a², que pode ser simplificado para displaystylex=-fracb2apmsqrtleft(fracb2aright)²-fracca. Essa versão da fórmula facilita a descoberta das raízes quando se usa uma calculadora. Quando o discriminante displaystyleb²-4ac é negativo, raízes complexas estão envolvidas. Nesse caso, a fórmula quadrática acima pode ser descrita com a seguinte expressão (na qual a expressão fora da raíz quadrada é a parte real e a contida na raíz é a parte imaginária): displaystylex=-fracb2apmisqrtleft|left(fracb2aright)²-fraccaright|. Uma fórmula quadrática menos conhecida, que é utilizada no Método de Muller e que pode ser encontrada pelas Fórmulas de Viète, fornece (assumindo displaystyleaneq0, displaystylecneq0) as mesmas raízes pela equação: displaystylex=frac-2cbpmsqrtb²-4ac=frac2c-bmpsqrtb²-4ac. A parametrização padrão da equação quadrática é displaystyleax²+bx+c=0. Algumas fontes, particularmente as mais velhas, usam parametrizações da equação quadrática como displaystyleax²-2b₁x+c=0, onde displaystyleb₁=-b/2, ou displaystyleax²+2b₂x+c=0, onde displaystyleb₂=b/2. Essas parametrizações resultam em formas levemente diferentes para a solução, mas que são equivalentes à parametrização padrão. Divida a equação quadrática por displaystyle a, que é permitido porque displaystyleaneq0: displaystylex²+fracbax+fracca=0. Subtraia displaystylefracca dos dois lados da equação, o que resulta em: displaystylex²+fracbax=-fracca. A equação quadrática agora está em um formato em que a técnica de completar o quadrado é aplicável. Adicionando uma constante a ambos os lados da equação de tal forma que o lado esquerdo da equação se torne um quadrado perfeito, a equação quadrática se torna: displaystylex²+fracbax+left(fracb2aright)²=-fracca+left(fracb2aright)², o que produz: displaystyleleft(x+fracb2aright)²=-fracca+fracb²4a². Assim, após reorganizar os termos do lado direito da equação para terem um denominador comum, nós obtemos: displaystyleleft(x+fracb2aright)²=fracb²-4ac4a². Desta maneira, completamos o quadrado. Se o discriminante displaystyleb²-4ac é positivo, podemos extrair a raiz quadrada de ambos os lados, resultando na seguinte equação: displaystylex+fracb2a=pmfracsqrtb²-4ac2a. Nesse caso, isolar a variável displaystyle x nos fornece a fórmula quadrática: displaystylex=frac-bpmsqrtb²-4ac2a. Existem múltiplas variações dessa derivação com diferenças mínimas, principalmente em relação à manipulação da constante displaystyle a. Também é possível completar o quadrado com uma sequência mais curta, e muitas vezes mais simples: Multiplique cada lado por displaystyle4a, Reorganize. Adicione displaystyleb² a ambos os lados para completar o quadrado. O lado esquerdo é a expansão do polinômio displaystyle(2ax+b)². Extraia a raiz quadrada de ambos os lado. Isole displaystyle x. Nesse caso, a fórmula quadrática é derivada da seguinte forma: displaystylebeginalignedax²+bx+c&=04a²x²+4abx+4ac&=04a²x²+4abx&=-4ac4a²x²+4abx+b²&=b²-4ac(2ax+b)²&=b²-4ac2ax+b&=pmsqrtb²-4actext(válidoseb²-4actextépositivo)\2ax&=-bpmsqrtb²-4ac\x&=frac-bpmsqrtb²-4ac2a.endaligned Essa derivação da fórmula quadrática é extremamente antiga e era conhecida na Índia pelo menos desde 1025. Comparada à derivação em uso padrão, essa derivação alternativa evita frações até o último passo e portanto não requer uma reorganização após o terceiro passo para obter um denominador comum no lado direito. Outra técnica é a solução por substituição. Nessa técnica, nós substituímos displaystylex=p+q na equação quadrática para obtermos: displaystylea(p+q)²+b(p+q)+c=0. Expandindo o resultado e agrupando as potências de displaystyle p obtemos: displaystyleap²+p(2aq+b)+left(aq²+bq+cright)=0. Ainda não impusemos uma segunda condição em displaystyle p e displaystyle q, então escolheremos um displaystyle q para que o termo do meio desapareça. Ou seja, displaystyle2aq+b=0 ou displaystyletextstyleq=frac-b2a. displaystyleap²+p(0)+left(aq²+bq+cright)=0. displaystyleap²+left(aq²+bq+cright)=0. Subtraindo o termo constante de ambos os lados da equação (para movê-lo para o lado direito) e então dividindo por displaystyle a temos: displaystylep²=frac-left(aq²+bq+cright)a. Substituindo displaystyle m temos: displaystylep²=frac-left(fracb²4a+frac-b²2a+cright)a=fracb²-4ac4a². Portanto, contanto que o discriminante displaystyleb²-4ac seja positivo, displaystylep=pmfracsqrtb²-4ac2a Expressando novamente displaystyle p em termos de displaystyle x usando a fórmula displaystyletextstylex=p+q=p-fracb2a , A fórmula quadrática conhecida pode ser obtida: displaystylex=frac-bpmsqrtb²-4ac2a. O método a seguir foi usada por muitos matemáticos ao longo da história: Sejam r₁ e r₂ as raízes da equação quadrática padrão. A derivação começa ao lembrarmos da identidade: displaystyle(r₁-r₂)²=(r₁+r₂)²-4r₁r₂. Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, temos: displaystyler₁-r₂=pmsqrt(r₁+r₂)²-4r₁r₂. Sabendo que a ≠ 0, podemos dividir a equação padrão por a para obter um polinômio quadrático com as mesmas raízes. Isto é, displaystylex²+fracbax+fracca=(x-r₁)(x-r₂)=x²-(r₁+r₂)x+r₁r₂. Podemos então perceber que a soma das raízes da equação quadrática padrão é dada por displaystyle-fracba, e o produto destas raízes é dado por displaystylefracca. Com isso em mente, podemos reescrever a identidade da seguinte forma: displaystyler₁-r₂=pmsqrtleft(-fracbaright)²-4fracca=pmsqrtfracb²a²-frac4aca²=pmfracsqrtb²-4aca. O que leva a, displaystyler₁=frac(r₁+r₂)+(r₁-r₂)2=frac-fracbapmfracsqrtb²-4aca2=frac-bpmsqrtb²-4ac2a. Já que displaystyler₂=-r₁-fracba , se usarmos displaystyler₁=frac-b+sqrtb²-4ac2a então obtemos displaystyler₂=frac-b-sqrtb²-4ac2a; e se ao invés disso usarmos displaystyler₁=frac-b-sqrtb²-4ac2a então podemos calcular que displaystyler₂=frac-b+sqrtb²-4ac2a. Combinando esses resultados usando a abreviação ±, temos que as soluções da equação quadrática são: displaystylex=frac-bpmsqrtb²-4ac2a. Os primeiros métodos para resolver equações quadráticas eram geométricos. Tabletes cuneiforme babilônios continham problemas reduzíveis a resoluções de equações quadráticas. O Papiro de Berlim egípcio, que remonta ao Império Médio, contém a solução para uma equação quadrática de dois termos. O matemático grego Euclides usou métodos geométricos para resolver equações quadráticas no Livro 2 de seu tratado matemático Elementos. Regras para equações quadráticas aparecem no livro chinês Os nove capítulos da arte matemática. Em seu tratado Arithmetica, o matemático grego Diofanto resolveu equações quadráticas com um método mais reconhecível como algébrico quando comparado à álgebra geométrica de Euclides. Sua solução só fornecia uma raiz, mesmo em casos com duas raízes positivas. O matemático indiano Brahmagupta descreveu explicitamente a fórmula quadrática em seu tratado Brāhmasphuṭasiddhānta, publicado em 628 d.C., mas escrito em palavras em vez de símbolos. Sua solução da equação quadrática ax² + bx = c foi a seguinte: "Ao número absoluto multiplicado por quatro vezes o quadrado, adicione o quadrado do termo médio; a raiz quadrada do mesmo, menos o termo médio, sendo dividido por duas vezes o quadrado é o valor." Isso é equivalente a: displaystylex=fracsqrt4ac+b²-b2a. O autor do método empregado por Bhaskara Akaria, para resolução das equações quadráticas, foi provavelmente o matemático indiano Sridhara , que apresentou um algoritmo para resolver equações quadráticas, embora não haja indicação de que ele tenha considerado ambas as raízes. A fórmula, por vezes chamada "fórmula de Bhaskara", veio com um matemático francês, François Viète, que deu à fórmula geral, um tratamento algébrico mais formal.
