Resolver 3x=sqrt{x^2+6}-4

$$3x = \sqrt{ { x }^{ 2 } +6 } -4$$

Resolva para x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Passos Para a Resolução

Subtraia -4 de ambos os lados da equação.

$$3x+4=\sqrt{x^{2}+6}$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(3x+4\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{2}+6}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3x+4\right)^{2}.

$$9x^{2}+24x+16=\left(\sqrt{x^{2}+6}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x^{2}+6} elevado a 2 e obtenha x^{2}+6.

$$9x^{2}+24x+16=x^{2}+6$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$9x^{2}+24x+16-x^{2}=6$$

Combine 9x^{2} e -x^{2} para obter 8x^{2}.

$$8x^{2}+24x+16=6$$

Subtraia 6 de ambos os lados.

$$8x^{2}+24x+16-6=0$$

Subtraia 6 de 16 para obter 10.

$$8x^{2}+24x+10=0$$

Divida ambos os lados por 2.

$$4x^{2}+12x+5=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 4x^{2}+ax+bx+5. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=12 ab=4\times 5=20$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

A solução é o par que devolve a soma 12.

$$a=2 b=10$$

Reescreva 4x^{2}+12x+5 como \left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right).

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right)$$

Fator out 2x no primeiro e 5 no segundo grupo.

$$2x\left(2x+1\right)+5\left(2x+1\right)$$

Decomponha o termo comum 2x+1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 2x+1=0 e 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Substitua -\frac{1}{2} por x na equação 3x=\sqrt{x^{2}+6}-4.

$$3\left(-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+6}-4$$

Simplifique. O valor x=-\frac{1}{2} satisfaz a equação.

$$-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$$

Substitua -\frac{5}{2} por x na equação 3x=\sqrt{x^{2}+6}-4.

$$3\left(-\frac{5}{2}\right)=\sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}+6}-4$$

Simplifique. O valor x=-\frac{5}{2} não satisfaz a equação.

$$-\frac{15}{2}=-\frac{1}{2}$$

A equação 3x+4=\sqrt{x^{2}+6} tem uma solução única.

$$x=-\frac{1}{2}$$