Resolver 31x^2-3x+1=0

$$31 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

Resolva para x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}\approx 0,048387097+0,172964602i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}\approx 0,048387097-0,172964602i$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 31 por a, -3 por b e 1 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 31}}{2\times 31}$$

Calcule o quadrado de -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 31}}{2\times 31}$$

Multiplique -4 vezes 31.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-124}}{2\times 31}$$

Some 9 com -124.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-115}}{2\times 31}$$

Calcule a raiz quadrada de -115.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

O oposto de -3 é 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Multiplique 2 vezes 31.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} quando ± for uma adição. Some 3 com i\sqrt{115}.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} quando ± for uma subtração. Subtraia i\sqrt{115} de 3.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Subtraia 1 de ambos os lados da equação.

$$31x^{2}-3x+1-1=-1$$

Subtrair 1 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$31x^{2}-3x=-1$$

Divida ambos os lados por 31.

$$\frac{31x^{2}-3x}{31}=-\frac{1}{31}$$

Dividir por 31 anula a multiplicação por 31.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x=-\frac{1}{31}$$

Divida -\frac{3}{31}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{3}{62}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{3}{62} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{1}{31}+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{3}{62}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{1}{31}+\frac{9}{3844}$$

Some -\frac{1}{31} com \frac{9}{3844} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{115}{3844}$$

Fatorize x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{115}{3844}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{3844}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{3}{62}=\frac{\sqrt{115}i}{62} x-\frac{3}{62}=-\frac{\sqrt{115}i}{62}$$

Some \frac{3}{62} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$