Resolver 30x+21x^2=3384

$$30 x + 21 x ^ { 2 } = 3384$$

Resolva para x

$$x = -\frac{94}{7} = -13\frac{3}{7} \approx -13,428571429$$

$$x=12$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 3384 de ambos os lados.

$$30x+21x^{2}-3384=0$$

Divida ambos os lados por 3.

$$10x+7x^{2}-1128=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$7x^{2}+10x-1128=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 7x^{2}+ax+bx-1128. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=10 ab=7\left(-1128\right)=-7896$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -7896.

$$-1,7896 -2,3948 -3,2632 -4,1974 -6,1316 -7,1128 -8,987 -12,658 -14,564 -21,376 -24,329 -28,282 -42,188 -47,168 -56,141 -84,94$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+7896=7895 -2+3948=3946 -3+2632=2629 -4+1974=1970 -6+1316=1310 -7+1128=1121 -8+987=979 -12+658=646 -14+564=550 -21+376=355 -24+329=305 -28+282=254 -42+188=146 -47+168=121 -56+141=85 -84+94=10$$

A solução é o par que devolve a soma 10.

$$a=-84 b=94$$

Reescreva 7x^{2}+10x-1128 como \left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right).

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right)$$

Fator out 7x no primeiro e 94 no segundo grupo.

$$7x\left(x-12\right)+94\left(x-12\right)$$

Decomponha o termo comum x-12 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-12\right)\left(7x+94\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-12=0 e 7x+94=0.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Subtraia 3384 de ambos os lados da equação.

$$21x^{2}+30x-3384=3384-3384$$

Subtrair 3384 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$21x^{2}+30x-3384=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 21 por a, 30 por b e -3384 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Calcule o quadrado de 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Multiplique -4 vezes 21.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-84\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Multiplique -84 vezes -3384.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+284256}}{2\times 21}$$

Some 900 com 284256.

$$x=\frac{-30±\sqrt{285156}}{2\times 21}$$

Calcule a raiz quadrada de 285156.

$$x=\frac{-30±534}{2\times 21}$$

Multiplique 2 vezes 21.

$$x=\frac{-30±534}{42}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-30±534}{42} quando ± for uma adição. Some -30 com 534.

$$x=\frac{504}{42}$$

Divida 504 por 42.

$$x=12$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-30±534}{42} quando ± for uma subtração. Subtraia 534 de -30.

$$x=-\frac{564}{42}$$

Reduza a fração \frac{-564}{42} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$x=-\frac{94}{7}$$

A equação está resolvida.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Divida ambos os lados por 21.

$$\frac{21x^{2}+30x}{21}=\frac{3384}{21}$$

Dividir por 21 anula a multiplicação por 21.

$$x^{2}+\frac{30}{21}x=\frac{3384}{21}$$

Reduza a fração \frac{30}{21} para os termos mais baixos ao retirar e anular 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{3384}{21}$$

Reduza a fração \frac{3384}{21} para os termos mais baixos ao retirar e anular 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{1128}{7}$$

Divida \frac{10}{7}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{5}{7}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{5}{7} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{1128}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{5}{7}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{1128}{7}+\frac{25}{49}$$

Some \frac{1128}{7} com \frac{25}{49} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{7921}{49}$$

Fatorize x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{7921}{49}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{49}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{5}{7}=\frac{89}{7} x+\frac{5}{7}=-\frac{89}{7}$$

Subtraia \frac{5}{7} de ambos os lados da equação.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$