Resolver 30t=225(t+10)^2

$$30 t = 225 ( t + 10 ) ^ { 2 }$$

Resolva para t

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}\approx -9,933333333+1,152774431i$$

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}\approx -9,933333333-1,152774431i$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(t+10\right)^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 225 por t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Subtraia 225t^{2} de ambos os lados.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Subtraia 4500t de ambos os lados.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Combine 30t e -4500t para obter -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Subtraia 22500 de ambos os lados.

$$-4470t-225t^{2}-22500=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-225t^{2}-4470t-22500=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -225 por a, -4470 por b e -22500 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{\left(-4470\right)^{2}-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Calcule o quadrado de -4470.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Multiplique -4 vezes -225.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900+900\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Multiplique 900 vezes -22500.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-20250000}}{2\left(-225\right)}$$

Some 19980900 com -20250000.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{-269100}}{2\left(-225\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de -269100.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

O oposto de -4470 é 4470.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Multiplique 2 vezes -225.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} quando ± for uma adição. Some 4470 com 30i\sqrt{299}.

$$t=\frac{4470+30\sqrt{299}i}{-450}$$

Divida 4470+30i\sqrt{299} por -450.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} quando ± for uma subtração. Subtraia 30i\sqrt{299} de 4470.

$$t=\frac{-30\sqrt{299}i+4470}{-450}$$

Divida 4470-30i\sqrt{299} por -450.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

A equação está resolvida.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15} t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(t+10\right)^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 225 por t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Subtraia 225t^{2} de ambos os lados.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Subtraia 4500t de ambos os lados.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Combine 30t e -4500t para obter -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-225t^{2}-4470t=22500$$

Divida ambos os lados por -225.

$$\frac{-225t^{2}-4470t}{-225}=\frac{22500}{-225}$$

Dividir por -225 anula a multiplicação por -225.

$$t^{2}+\left(-\frac{4470}{-225}\right)t=\frac{22500}{-225}$$

Reduza a fração \frac{-4470}{-225} para os termos mais baixos ao retirar e anular 15.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=\frac{22500}{-225}$$

Divida 22500 por -225.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=-100$$

Divida \frac{298}{15}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{149}{15}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{149}{15} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}=-100+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{149}{15}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-100+\frac{22201}{225}$$

Some -100 com \frac{22201}{225}.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-\frac{299}{225}$$

Fatorize t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}=-\frac{299}{225}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{299}{225}}$$

Simplifique.

$$t+\frac{149}{15}=\frac{\sqrt{299}i}{15} t+\frac{149}{15}=-\frac{\sqrt{299}i}{15}$$

Subtraia \frac{149}{15} de ambos os lados da equação.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15} t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$