Resolver 3z^2+14z-5

$$3 z ^ { 2 } + 14 z - 5$$

Fatorizar

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Passos Para a Resolução

Fatorize a expressão ao agrupar. Em primeiro lugar, a expressão tem de ser reescrita como 3z^{2}+az+bz-5. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=14 ab=3\left(-5\right)=-15$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -15.

$$-1,15 -3,5$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

A solução é o par que devolve a soma 14.

$$a=-1 b=15$$

Reescreva 3z^{2}+14z-5 como \left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right).

$$\left(3z^{2}-z\right)+\left(15z-5\right)$$

Decomponha z no primeiro grupo e 5 no segundo.

$$z\left(3z-1\right)+5\left(3z-1\right)$$

Decomponha o termo comum 3z-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$3z^{2}+14z-5=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$z=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Calcule o quadrado de 14.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Multiplique -4 vezes 3.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Multiplique -12 vezes -5.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196+60}}{2\times 3}$$

Some 196 com 60.

$$z=\frac{-14±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

Calcule a raiz quadrada de 256.

$$z=\frac{-14±16}{2\times 3}$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$z=\frac{-14±16}{6}$$

Agora, resolva a equação z=\frac{-14±16}{6} quando ± for uma adição. Some -14 com 16.

$$z=\frac{2}{6}$$

Reduza a fração \frac{2}{6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$z=\frac{1}{3}$$

Agora, resolva a equação z=\frac{-14±16}{6} quando ± for uma subtração. Subtraia 16 de -14.

$$z=-\frac{30}{6}$$

Divida -30 por 6.

$$z=-5$$

Fatorize a expressão original através de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitua \frac{1}{3} por x_{1} e -5 por x_{2}.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z-\left(-5\right)\right)$$

Simplifique todas as expressões de p-\left(-q\right) para p+q.

$$3z^{2}+14z-5=3\left(z-\frac{1}{3}\right)\left(z+5\right)$$

Subtraia \frac{1}{3} de z ao localizar um denominador comum e ao subtrair os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$3z^{2}+14z-5=3\times \frac{3z-1}{3}\left(z+5\right)$$

Anule o maior fator comum 3 em 3 e 3.

$$3z^{2}+14z-5=\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$

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$$\left(3z-1\right)\left(z+5\right)$$