Resolver 3x-y=2;2x-y=3

$$3 x - y = 2 ; 2 x - y = 3$$

Resolva para x, y

$$x=-1$$

$$y=-5$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Escolha uma das equações e resolver por x , isolando x no lado esquerdo do sinal de igual.

$$3x-y=2$$

Some y a ambos os lados da equação.

$$3x=y+2$$

Divida ambos os lados por 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

Multiplique \frac{1}{3} vezes y+2.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Substitua \frac{2+y}{3} por x na outra equação, 2x-y=3.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=3$$

Multiplique 2 vezes \frac{2+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}-y=3$$

Some \frac{2y}{3} com -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

Subtraia \frac{4}{3} de ambos os lados da equação.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

Multiplique ambos os lados por -3.

$$y=-5$$

Substitua -5 por y em x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5\right)+\frac{2}{3}$$

Multiplique \frac{1}{3} vezes -5.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

Some \frac{2}{3} com -\frac{5}{3} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=-1$$

O sistema está resolvido.

$$x=-1,y=-5$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), para que a equação da matriz possa ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-3\\2\times 2-3\times 3\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=-1,y=-5$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Subtraia 2x-y=3 de 3x-y=2 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$3x-2x-y+y=2-3$$

Some -y com y. Os termos -y e y são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$3x-2x=2-3$$

Some 3x com -2x.

$$x=2-3$$

Some 2 com -3.

$$x=-1$$

Substitua -1 por x em 2x-y=3. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$2\left(-1\right)-y=3$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$-2-y=3$$

Some 2 a ambos os lados da equação.

$$-y=5$$

Divida ambos os lados por -1.

$$y=-5$$

O sistema está resolvido.

$$x=-1,y=-5$$