Resolver 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Resolva para x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$3x-5y=4$$

Some 5y a ambos os lados da equação.

$$3x=5y+4$$

Divida ambos os lados por 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Multiplique \frac{1}{3} vezes 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Substitua \frac{5y+4}{3} por x na outra equação, 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Multiplique 9 vezes \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Some 15y com -2y.

$$13y+12=7$$

Subtraia 12 de ambos os lados da equação.

$$13y=-5$$

Divida ambos os lados por 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Substitua -\frac{5}{13} por y em x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Multiplique \frac{5}{3} vezes -\frac{5}{13} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Some \frac{4}{3} com -\frac{25}{39} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=\frac{9}{13}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Para tornar 3x e 9x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 9 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Simplifique.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Subtraia 27x-6y=21 de 27x-45y=36 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Some 27x com -27x. Os termos 27x e -27x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-45y+6y=36-21$$

Some -45y com 6y.

$$-39y=36-21$$

Some 36 com -21.

$$-39y=15$$

Divida ambos os lados por -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Substitua -\frac{5}{13} por y em 9x-2y=7. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Multiplique -2 vezes -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Subtraia \frac{10}{13} de ambos os lados da equação.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Divida ambos os lados por 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

O sistema está resolvido.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$