Resolver 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Resolva para x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 3x^{2}+ax+bx+84. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

A solução é o par que devolve a soma -32.

$$a=-18 b=-14$$

Reescreva 3x^{2}-32x+84 como \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Fator out 3x no primeiro e -14 no segundo grupo.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Decomponha o termo comum x-6 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-6=0 e 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 3 por a, -32 por b e 84 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Calcule o quadrado de -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Multiplique -4 vezes 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Multiplique -12 vezes 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Some 1024 com -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Calcule a raiz quadrada de 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

O oposto de -32 é 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{32±4}{6} quando ± for uma adição. Some 32 com 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Divida 36 por 6.

$$x=6$$

Agora, resolva a equação x=\frac{32±4}{6} quando ± for uma subtração. Subtraia 4 de 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Reduza a fração \frac{28}{6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

A equação está resolvida.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Subtraia 84 de ambos os lados da equação.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Subtrair 84 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Divida ambos os lados por 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

Dividir por 3 anula a multiplicação por 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Divida -84 por 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Divida -\frac{32}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{16}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{16}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{16}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Some -28 com \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Fatorize x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Some \frac{16}{3} a ambos os lados da equação.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$