Resolver 3x^2-2x-16=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Resolva para x

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 3x^{2}+ax+bx-16. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

A solução é o par que devolve a soma -2.

$$a=-8 b=6$$

Reescreva 3x^{2}-2x-16 como \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right).

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

Fator out x no primeiro e 2 no segundo grupo.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Decomponha o termo comum 3x-8 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 3x-8=0 e x+2=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 3 por a, -2 por b e -16 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Calcule o quadrado de -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Multiplique -4 vezes 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Multiplique -12 vezes -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

Some 4 com 192.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Calcule a raiz quadrada de 196.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

O oposto de -2 é 2.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{2±14}{6} quando ± for uma adição. Some 2 com 14.

$$x=\frac{16}{6}$$

Reduza a fração \frac{16}{6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=\frac{8}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{2±14}{6} quando ± for uma subtração. Subtraia 14 de 2.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Divida -12 por 6.

$$x=-2$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Some 16 a ambos os lados da equação.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Subtrair -16 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Subtraia -16 de 0.

$$3x^{2}-2x=16$$

Divida ambos os lados por 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

Dividir por 3 anula a multiplicação por 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

Divida -\frac{2}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{1}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{1}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{1}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

Some \frac{16}{3} com \frac{1}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

Fatorize x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

Some \frac{1}{3} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$