Resolver 3x^2+x-2<0

$$3 x ^ { 2 } + x - 2 < 0$$

Resolver o valor x

$$x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Para resolver a desigualdade, fatorize o lado esquerdo. O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+x-2=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 3 por a, 1 por b e -2 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{-1±5}{6}$$

Resolva a equação x=\frac{-1±5}{6} quando ± é mais e quando ± é menos.

$$x=\frac{2}{3} x=-1$$

Rescreva a desigualdade ao utilizar as soluções obtidas.

$$3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+1\right)<0$$

Para que o produto seja negativo, x-\frac{2}{3} e x+1 têm de ser dos sinais opostos. Consideremos o caso em que x-\frac{2}{3} é positivo e x+1 é negativo.

$$x-\frac{2}{3}>0 x+1<0$$

Isto é falso para qualquer valor x.

$$x\in \emptyset$$

Consideremos o caso em que x+1 é positivo e x-\frac{2}{3} é negativo.

$$x+1>0 x-\frac{2}{3}<0$$

A solução que satisfaz ambas as desigualdades é x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right).

$$x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right)$$

A solução final é a união das soluções obtidas.

$$x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right)$$